Հանրահաշիվ

Երրորդ ուսումնական շրջանը սկսեցինք Պի թվի ուսումնասիրությամբ: Խոսեցինք եւ ունեցանք հետաքրքիր քննարկում : Ծանոթացանք Պի թվի հետ՝ իմացանք նրա կարեւորությունը մաթեմատիկական աշխարհում: Այնուհետև սկսեցինք ուսումնասիրել ֆունկցիաները: Ունեցանք նաև Ֆլեշմոբներ: Կատարեցնիք նաեւ անհատական աշխատանքներ:

ՖՈՒՆԿՑԻԱ

ՍԻՆՈՒՍ ԵՒ ԿՈՍԻՆՈՒՍ ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐԻ ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐՆ ՈՒ ԳՐԱՖԻԿՆԵՐՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱ

ՖԼԵՇՄՈԲ 2ՐԴ ՄԱԿԱՐԴԱԿ

ԹՎԱՅԻՆ ՀԱՇՎԱՐԿ

Ֆունկցիայի գրաֆիկ{\displaystyle {\begin{aligned}&\scriptstyle \\&\textstyle f(x)={\frac {(4x^{3}-6x^{2}+1){\sqrt {x+1}}}{3-x}}\end{aligned}}}Ֆունկցիան մաթեմատիկայում, երկու բազմությունների տարրերի միջև համապատասխանության կանոն է, ըստ որի առաջինի յուրաքանչյուր տարր համապատասխանում է երկրորդ բազմության մեկ և միայն մեկ տարրին։ Հաճախ «ֆունկցիա» տերմինը հասկացվում է որպես թվային ֆունկցիա, այսինքն՝ ֆունկցիա, որը մի թվին համապատասխանեցնում է մյուսին։ Այս ֆունկցիաները հարմար է ներկայացնել գրաֆիկների տեսքով։Ֆունկցիա սահմանելու եղանակներՎերլուծական մեթոդՖունկցիան կարելի է սամանել՝ օգտագործելով վերլուծական արտահայտություն (օրինակ՝ բանաձև)։ Այս դեպքում այն նշվում է որպես համապատասխանություն հավասարության տեսքով։Օրինակներ․Ֆունկցիա, որը տրվում է մեկ բանաձևով․{\displaystyle f(x)=x^{2}+a\sin(x)-{\frac {\pi }{\ln(x)}}\;\;(a\in \mathbb {R} );}Անուղղակիորեն սահմանված ֆունկցիա․{\displaystyle f(x)=y:x^{2}+y^{2}=R^{2}\;(R\in \mathbb {R} ,\;R\geqslant 0);}Գրաֆիկական եղանակ{\displaystyle f(x)=x^{3}-3x} գրաֆիկըՖունկցիան կարող է սահմանվել նաև գրաֆիկի միջոցով։ Եթե {\displaystyle y=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\;}– n փոփոխականով իրական ֆունկցիա,ապա նրա գրաֆիկը կետերի բազմություն է (n+1)}{\displaystyle (n+1)}-աչափ միջակայքում \{\displaystyle \{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\}}։ Այս կետերի բազմությունը հաճախ հիպերմակերևույթ է։ Մասնավորապես, երբ n=1 ֆունկցիայի գրաֆիկը որոշ դեպքերում կարող է ներկայացվել երկչափ տարածության կորով։Արժեքների թվարկումՎերջավոր բազմության վրա ֆունկցիան կարող է սահմանվել արժեքների աղյուսակով՝ ուղղակիորեն նշելով դրա արժեքները սահմանման տիրույթի յուրաքանչյուր տարրի համար։Այս մեթոդը օգտագործվում է, օրինակ, Բուլյան ֆունկցիաները սահմանելու համար։ Փաստորեն, այս մեթոդը նաև ֆունկցիայի գրաֆիկի սահմանումն է, եթե ֆունկցիայի գրաֆիկը{\displaystyle f\colon A\to B} դիտարկենք որպես ձևի կարգավորված զույգերի բազմություն{\displaystyle (x,f(x))}ԲիեկցիաՖունկցիան, որը միևնույն ժամանակ սուբեկտիվ և օբեկտիվ է, կոչվում է բիեկտիվ կամ փոխադարձ միանշանակ (կարճ՝ բիեկցիա)։Հակադարձ ֆունկցիաԵթե{\displaystyle f\colon X\to Y} ֆունկցիան բիեկցիա է, ապա գոյություն ունի {\displaystyle f^{-1}\colon Y\to X}, որի համար{\displaystyle x=f^{-1}(y)\;\Leftrightarrow y=f(x)}։{-1}}{\displaystyle f^{-1}} ֆունկցիան այս դեպքում կոչվում է հակադարձ f-ի նկատմամբ, բացի այդ, {\displaystyle f^{-1}} նույնպես բիեկտիվ ֆունկցիա է։Պարբերականություն{\displaystyle f\colon M\to N} ֆունկցիան կոչվում է պարբերական պարբերույթով, եթե ճիշտ է հետևյալ հավասարությունը․{\displaystyle f(x+T)=f(x),\quad \forall x,x+T\in M}.Քանի որT պարբերույթով պարբերական ֆունկցիան պարբերական է նաև {\displaystyle nT\;(n\in \mathbb {N} )} տիպի պարբերույթներով, ապաT-ն ֆունկցիայի նվազագույն պարբերույթն է։Ֆունկցիաները բազմությունների տեսության մեջԿախված նրանից, թե ինչպիսին է առաջադրման ոլորտի և նշանակումների տարածության բնույթը, տարբերակում են ոլորտների հետևյալ դեպքերը.վերացական բազմություններ, որոնք առանց որևէ լրացուցիչ կառուցվածքի բազմություններն են,բազմություններ, որենք օժտված է որոշակի կառուցվածքով։1-ի դեպքում դիտարկվում են ընդհանուր ձևով արտապատկերումները և լուծվում են ամենատարածված հարցերը, օրինակ՝ բազմությունների համեմատումն ըստ հզորության․ եթե երկու բազմությունների միջև առկա է փոխմիարժեք արտապատկերում (բիեկցիա), ապա այդ բազմությունները կոչվում են էկվիվալենտ կամ համարժեք։ Սա թույլ է տալիս դասակարգել բազմությունները ըստ իրենց հզորության, և դրանցից ամենափոքրը, ըստ մեծացման, հետևյալն են.վերջավոր բազմություններ, այստեղ բազմության հզորությունը համընկնում է տարրերի քանակի հետ,հաշվելի բազմություններ, բնական թվերի բազմությանը համարժեք բազմություններ,կոնտինուումի հզորության բազմություններ (օրինակ, թվային առանցքի հատվածը կամ թվային առանցքը)։Այսպիսով, ստացվում են արտապատկերումների հետևյալ տեսակները՝ ըստ սահմանման տիրույթի հզորության.վերջավոր ֆունկցիաներ՝ վերջավոր բազմությունների արտապատկերում,հաջորդականություններ՝ հաշվելի բազմության արտապատկերում կամայական բազմության մեջ,շարունակական ֆունկցիաներ՝ անհաշվելի բազմությունների արտապատկերումը վերջավոր , հաշվելի կամ անհաշվելի բազմությունների մեջ։2-րդ դեպքում դիտարկման հիմնական առարկան բազմության մեջ տրված կառուցվածքն է (որտեղ բազմության տարրերն օժտված են որոշ լրացուցիչ հատկություններով, որոնք կապում են այդ տարրերը, օրինակ՝ խմբերում, օղակներում, վեկտորական տարածություններում) և այն, ինչ տեղի է ունենում այդ կառուցվածքի հետ արտապատկերման ժամանակ. եթե փոխմիարժեք արտապատկերման դեպքում պահպանվում են տվյալ կառուցվածքի հատկությունները, ապա ասում են, որ երկու կառուցվածքների միջև հաստատվում է իզոմորֆություն։ Այսպիսով, տարբեր բազմությունների մեջ տրված իզոմորֆ կառուցվածքները, ընդհանուր առմամբ, հնարավոր չէ տարբերվել, հետևաբար մաթեմատիկայում ընդունված է ասել, որ տվյալ կառուցվածքը դիտարկվում է «մինչև իզոմորֆիզմի ճշգրտությամբ»։Գոյություն ունեն բազմաթիվ տարբեր կառուցվածքներ, որոնք կարելի է սահմանել բազմությունների մեջ։ Դրանց թվում են.կարգի կառուցվածք – բազմության տարրերի մասնակի կամ գծային կարգը,հանրահաշվական կառուցվածք – խմբոիդ, կիսախումբ, խումբ, օղակ, մարմին, ամբողջականության ոլորտ կամ դաշտ, որը սահմանված է բազմության տարրերի վրա,մետրիկական տարածության կառուցվածք – բազմության տարրերի համար որոշվում է տարածության ֆունկցիան,Էվկլիդեսյան տարածության կառուցվածք – բազմության տարրերի համար որոշվում է սկալյար արտադրյալը,Տոպոլոգիական տարածության կառուցվածք – բազմության վրա տրվում է «բաց բազմությունների» ամբողջություն (որոնք չեն պարունակում իրենց սահմանը),չափելի տարածության կառուցվածք – բազմության վրա տրվում է սկզբնական բազմության ենթաբազմությունների սիգմա հանրահաշիվը (օրինակ՝ տվյալ սիգմա հանրահաշիվը որպես ֆունկցիայի որոշման տիրույթ նշելով)։Որոշակի հատկություն ունեցող ֆունկցիաներ կարող են չլինել այն բազմությունների վրա, որոնք չունեն համապատասխան կառուցվածք։ Օրինակ, այնպիսի հատկություն ձևակերպելու համար, ինչպիսին է բազմության վրա սահմանված անընդհատ ֆունկցիան, այդ բազմության վրա անհրաժեշտ է սահմանել տոպոլոգիական կառուցվածք։

Siny=sinx ֆունկցիայի հատկություններըԴիտարկենք y=sinx ֆունկցիան, որի արժեքը x կետում հավասար է x ռադիան անկյան սինուսին:1. y=sinx ֆունկցիայի որոշման տիրույթն ամբողջ թվային առանցքն է՝ D(sinx)=R:2. y=sinx ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը [−1;1] հատվածն է:3. y=sinx ֆունկցիան պարբերական է T=2π պարբերությամբ: 4. y=sinx ֆունկցիան կենտ է:5. sinx=0, երբ x=πn,n∈Z: 6. y=sinx ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը 1-ն է, որը ֆունկցիան ընդունում է x=π2+2πn,n∈Z կետերում: 7. y=sinx ֆունկցիայի փոքրագույն արժեքը −1-ն է, որը ֆունկցիան ընդունում է x=−π2+2πn,n∈Z կետերում:8. y=sinx ֆունկցիան դրական է (2πn;π+2πn) արգումենտների համար, և բացասական է (π+2πn;2π+2πn) արգումենտների համար, որտեղ n∈Z:9. y=sinx ֆունկցիան աճում է [−π2+2πn;π2+2πn] հատվածներում և նվազում է [π2+2πn;3π2+2πn] հատվածներում, որտեղ n∈Z:Հաշվի առնելով թվարկված հատկությունները, կառուցում ենք y=sinx ֆունկցիայի գրաֆիկը՝Cosy=cosx ֆունկցիայի հատկություններըԴիտարկենք y=cosx ֆունկցիան, որի արժեքը x կետում հավասար է x ռադիան անկյան կոսինուսին:1. y=cosx ֆունկցիայի որոշման տիրույթը ամբողջ թվային առանցքն է՝ D(cosx)=R:2. y=cosx ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը [−1;1] հատվածն է:3. y=cosx ֆունկցիան պարբերական է T=2π պարբերությամբ: 4. y=cosx ֆունկցիան զույգ է:5. cosx=0, երբ x=π2+πn,n∈Z: 6. y=cosx ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը 1-ն է, որը ֆունկցիան ընդունում է x=2πn,n∈Z կետերում:7. y=cosx ֆունկցիայի փոքրագույն արժեքը −1-ն է, որը ֆունկցիան ընդունում է x=π+2πn,n∈Z կետերում:8. y=cosx ֆունկցիան դրական է (−π2+2πn;π2+2πn) արգումենտների համար, և բացասական է (π2+2πn;3π2+2πn) արգումենտների համար, որտեղ n∈Z:9. y=cosx ֆունկցիան աճում է [−π+2πn;2πn] հատվածներում և ֆունկցիան նվազում է [2πn;π+2πn] հատվածներում, որտեղ n∈Z:Հաշվի առնելով թվարկված հատկությունները, կառուցում ենք y=cosx ֆունկցիայի գրաֆիկը՝Համաձայն բերման բանաձևի՝ cosx=sin(π2+x):Հետևաբար, y=cosx ֆունկցիայի գրաֆիկը ստացվում է y=sinx ֆունկցիայի գրաֆիկը π2 միավորով դեպի ձախ տեղաշարժի միջոցով:

Անուն 

Լևոն

Ազգանուն 

Գալստյան

Դասարան 

1 կուրս

Դպրոց 

Մխիթար Սեբաստացի կրթահամալիր քոլեջ

1. Տասը լիտր աղաջուր պատրաստելու համար անհրաժեշտ է կես կիլոգրամ աղ։ Սովորողները Թթուդրիկին որքա՞ն աղ պետք է օգտագործեն՝ ութ ու կես լիտր աղաջուր պատրաստելու համար։

 10 լիտր = 500 գ աղ

1 լիտր աղաջուր պատրաստելու համար անհրաժեշտ կլինի 500։10=50 գ աղ

կես լիտրի համար 50։2=25 գ աղ։

8.5 լիտր աղաջուր պատրաստելու համար անհրաժեշտ կլինի 8×50+25=400+25=425 գ աղ։

425 գ։

2. Գտնելով օրինաչափությունը՝ լրացրո՛ւ բաց թողնված թիվը՝ 8, 18, 38, 78,___, 318:

8+10=18
18+20=38
38+40=78
78+80=158
158+160=318

3. Գտի՛ր շրջանով ծածկված թիվը:

3_* 6=18

4. Կ, ո, դ տառերից յուրաքանչյուրին համապատասխանում է 0-ից 9 թվանշաններից որևէ մեկը: Բացի՛ր կողպեքը՝ օգտվելով հետևյալ հուշումներից․ 682 թվի մեջ թվանշաններից մեկը ճիշտ է գրված և իր տեղում է (ճիշտ կարգում է), 614 թվի մեջ թվանշաններից մեկը ճիշտ է գրված, սակայն իր տեղում չէ (ճիշտ կարգում չէ), 260 թվի մեջ թվանշաններից երկուսը ճիշտ են գրված, սակայն իրենց տեղերում չեն (ճիշտ կարգերում չեն), 738 թվի մեջ ճիշտ թվանշաններ գրված չեն, 438 թվի մեջ թվանշաններից մեկը ճիշտ է գրված և իր տեղում է (ճիշտ կարգում է):

206

5. Եթե բերքահավաքին հավաքած դեղձը բաժանենք 2 հավասար մասի, ապա 1 դեղձ կավելանա։ Հետաքրքիրն այն է, որ եթե հավաքած դեղձերը բաժանենք 3, 4, 6 կամ 7 հավասար մասերի, ապա ամեն դեպքում կավելանա ևս 1 դեղձ։ Հինգ հավասար մասի բաժանելու դեպքում ոչ մի դեղձ չի ավելանա։ Բերքահավաքին ամենաքիչը քանի՞ դեղձ հավաքեցին։

6. Յոթ հատ 9-ի և թվաբանական գործողությունների միջոցով ստացի՛ր ամենափոքր եռանիշ թիվը։

9_*9+9+9+9։9=100

7. Նարնջագույն ներկ ստանալու համար պետք է իրար խառնել կարմիր և դեղին ներկերն այնպես, որ դեղինը 3 անգամ շատ լինի կարմիրից։ Ամենաշատը որքա՞ն նարնջագույն ներկ կարող ենք ստանալ, եթե ունենք 3 կգ կարմիր և 3 կգ դեղին ներկ։

4կգ

8. Առաջին արկղը երկրորդից 7 անգամ ծանր է, իսկ երկրորդը առաջինից 90 կգ-ով թեթև է։ Գտի՛ր առաջին արկղի զանգվածը:

105

9. Չորսի բաժանվող քանի՞ եռանիշ թիվ կարող ես կազմել միայն 0, 1, 2, 5 թվանշանները օգտագործելով, եթե թվերից յուրաքանչյուրի գրառման մեջ թվանշանները չեն կարող կրկնվել։

152, 512, 520, 120

10. Գտի՛ր 1000-ից փոքր այն բնական թվերի քանակը, որոնք 5-ի բաժանելիս մնացորդում ստացվում է 2:

180

13․09-17․09 — Իրական թվերի n-րդ աստիճանի արմատ։ Առ․ դասագրքից — 38, 39, 46-51, 54, 58, 59, 61-66։ Լրացուցիչ — 67, 68։

Հղումը