2024 թվականի գարնանային կիսամյակի ընթացքում MSKH քոլեջում իմ հիմնական ուղղվածությունն էր մաթեմատիկայի խորացված ուսումնասիրությունը: Ներկայացնում եմ հաշվետվություն՝ ընդգրկելով ֆունկցիաների հետազոտման նոր թեմաները և վարժությունները:

Ֆունկցիայի հետազոտումը ածանցի միջոցով

Ուսումնասիրել եմ ֆունկցիաների ածանցի միջոցով հետազոտման հետևյալ կետերը՝

• Ածանցյալների կիրառումը ֆունկցիայի աճման և նվազման միջակայքերի որոշման համար։

Ֆունկցիայի գրաֆիկի շոշափում

• Սովորել եմ ֆունկցիայի գրաֆիկի շոշափման պայմանները։

• Գրաֆիկի շոշափման կետերի որոշման համար կիրառել եմ ածանցի հասկացությունը։

Ֆունկցիայի մոնոտոնության միջակայքերը և ածանցյալը

• Կազմել եմ ֆունկցիաների մոնոտոնության միջակայքերը և գնահատել դրանց վարքը այդ միջակայքերում։

• Ածանցյալների միջոցով գտել եմ ֆունկցիաների մոնոտոնության միջակայքերը։

Վարժություններ

27

ա) ∫xeⁿdx=(x-1)eⁿ+C

բ) ∫x²eⁿdx=(x²-2x+2)eⁿ+C

գ) ∫x³eⁿdx=(x³-3x²+6x-6)eⁿ+C

դ) ∫x⁴eⁿdx=(x⁴-4x³+12x²-24x+24)eⁿ+C

29

ա) ∫lnxdx=xlnx-x+C

բ) ∫ln²xdx=xln²x-2lnx+2+C

գ) ∫ln³xdx=xln³x-3ln²x+6lnx-6+C

դ) ∫ln⁴xdd=xln⁴x-4ln³x+12ln²x-24lnx+24+C

31

ա) ∫xlnxdx=(2lnx-1)x²/4+C

բ) ∫x²lnxdx=(3lnx-1)x³/9+C

գ) ∫√xlnxdx=2x√x(3lnx-2)/9+C

դ) ∫x⁵/²lnxdx=

ե) ∫x²cosxdx=x²sinx+2xcosx-2sinx+C

զ)

է) ∫xsinxdx=-xcosx+sinx+C

ը) ∫x²sinxdx=-x²cosx+2xsinx+2cosx+C

Որոշակի կետում ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողն այն ուղիղ գիծն է, որը դիպչում է տվյալ կետի ֆունկցիայի գրաֆիկին և ունի նույն անկյունային թեքությունը, ինչ տվյալ կետի ֆունկցիայի գրաֆիկի կորը: Շոշափող հավասարումը լուծելու համար անհրաժեշտ է երկու պարամետրով գտնել գծի հավասարումը.Եթե տրված է (f(x)) ֆունկցիան, ապա (x_0) կետում այս ֆունկցիայի շոշափողի հավասարումը գտնելու համար մենք կատարում ենք հետևյալ քայլերը.Գտի՛ր (f'(x)) ֆունկցիայի ածանցյալը:Հաշվի՛ր ածանցյալի արժեքը (x_0) կետում՝ ստանալով (f'(x_0)):Փոխարինեք (x_0, f(x_0)) կետի կոորդինատները և ածանցյալի գտնված արժեքը շոշափող հավասարման բանաձևով: Շոշափող հավասարումն ունի ձև՝ (y = f(x_0) + f'(x_0)(x – x_0)):

Մոնոտոնության ֆունկցիան ֆունկցիայի հատկությունն է՝ պահպանելու փոփոխականի աճող կամ նվազման կարգը։ Երբ ֆունկցիան պահպանում է աճող կարգը, ասում են, որ այն միապաղաղ աճող է, իսկ երբ ֆունկցիան պահպանում է նվազման կարգը, ասում են, որ միապաղաղ նվազող է:Ֆունկցիայի ածանցյալը նրա ածանցյալն է, որը ցույց է տալիս, թե ինչպես է ֆունկցիան փոխվում իր արգումենտի նկատմամբ։ Ֆունկցիայի ածանցյալը ցույց է տալիս ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը նրա սահմանման տիրույթի յուրաքանչյուր կետում:Ֆունկցիայի կրիտիկական կետերն այն կետերն են, որոնցում ֆունկցիայի ածանցյալը զրո է կամ գոյություն չունի։ Կրիտիկական կետերը կարող են լինել ֆունկցիայի ծայրահեղությունները (նվազագույնը, առավելագույնը կամ թեքման կետերը), ինչպես նաև բեկման կետերը կամ մակարդակի գծերի հատման կետերը:

Գործառույթն իր ածանցյալով ուսումնասիրելու համար կարող եք օգտագործել ֆունկցիայի ծայրահեղության, միապաղաղության և ուռուցիկության վերլուծության մեթոդներ:Գտնենք ֆունկցիայի ածանցյալը և պարզենք, թե որտեղ է այն հավասար զրոյի։ Այն կետերը, որոնցում ածանցյալը զրոյական է կամ գոյություն չունի, կարող են լինել ֆունկցիայի ծայրահեղ կետեր:Օգտագործելով երկրորդ ածանցյալը, մենք պարզում ենք, թե արդյոք այն կետը, որտեղ ածանցյալը հավասար է զրոյի, նվազագույն կամ առավելագույն կետ է:Եկեք ստուգենք ֆունկցիայի միապաղաղությունը ծայրահեղ կետերի միջև ընկած միջակայքերի վրա: Դա անելու համար կարող եք օգտագործել առաջին կարգի ածանցյալը:Մենք ուսումնասիրում ենք ֆունկցիայի ուռուցիկությունը և գոգավորությունը, դրա համար օգտագործում ենք երկրորդ ածանցյալը: Եթե երկրորդ ածանցյալը դրական է ինտերվալի վրա, ապա ֆունկցիան ուռուցիկ է, եթե բացասական է՝ գոգավոր։Գտնենք ֆունկցիայի թեքման կետերը, որտեղ երկրորդ ածանցյալը զրո է կամ գոյություն չունի։Օգտագործելով այս մեթոդները, դուք կարող եք մանրամասն տեղեկություններ ստանալ ֆունկցիայի վարքագծի մասին ինտերվալի վրա և ընդգծել դրա գրաֆիկի հիմնական բնութագրերը:

f(7) < f(8)

f(-24) > f(-23)

f(-52) = f(52)

F(0,3) < f(0,4)

f(-5,5) > f(-5,4)

f(-7,3) < f(8)

f(13) > f(12)

f(-4) > f(-10)

f(0,02) > f(0,01)

f(-9,4) > f(-9,5)

(3,4)^2, (3,4)^3 (3,4)^5

(0,7)^9, (0,8)^4, 0,7

2/5^7, 2/6^5, 2/5^4

9/8, 9/8^4, 9/8^7

Դասանյութը՝ Պետության և իրավունքի տեսություն /էջ 13-17,/

Թեմաներ՝

• Հասարակություն. հասկացությունը, հատկանիշները
• Մինչպետական հասարակության կազմակերպաման ձևերը

Առաջադրանք՝

1. Սահմանե՛լ հասարակություն հասկացությունը
2. Որո՞նք են հասարակության հիմնական հատկանիշները:
3. Որո՞նք են մինչպետական հասարակության գլխավոր ժամանակաշրջանները:
4. Որո՞նք են մինչպետական հասարակության կազմակերպման ձևերը:

1 Քաղաքացիական հասարակություն, տերմին, որով բնորոշվում է հասարակության զարգացման որոշակի մակարդակ։ Համաքաղաքացիների միջև գոյություն ունեցող տնտեսական, մշակութային, իրավական և քաղաքական զարգացած փոխհարաբերություններով ժողովրդավարական հասարակություն է։ Այդ փոխհարաբերությունները, որպես կանոն, օրենքով պաշտպանված են պետական իշխանության մարմինների ուղղակի միջամտությունից։

2

Հասարակություն կամ մարդկային հասարակություն, անհատների փոխադարձ, մշտական հարաբերությունների մեջ գտնվող մարդկանց խումբ է կամ միևնույն աշխարհագրական կամ վիրտուալ տարածության մեջ գտնվող մեծ սոցիալական խումբ է, որ կառավարվում է միևնույն քաղաքական իշխանությամբ և գերակշռող մշակութային սպասումներով։ Հասարակական գիտություններում, ավելի մեծ հասարակությունը հաճախ ենթարկվում է ենթախմբերի շերտավորման։ Հասարակությունը իր անդամներին կարող է հնարավորություն ընձեռնել, որքանով որ հնարավոր է, օգուտներ քաղելու այն եղանակով, որոնք անհատական ձևով հնարավոր չէ։ Եվ անհատական և սոցիալական օգուտները կարող են տարբերվել կամ շատ դեպքերում համընկնել։ Հասարակությունը կարող է բաղկացած լինել համակարծիք անձանցից, ովքեր մեծ հասարակություններում ունեն իրենց դոմինանտ նորմերը և արժեքները։ Այդ տերմինը, որը երբեմն անվանում են որպես ենթամշակույթ, լայնորեն կիրառվում է քրեաբանության մեջ։

Ավելի լայն իմաստով, հատկապես կառուցվածքային մտքի շրջանակներում, հասարակությունը կարող է պատկերվել, որպես տնտեսական, սոցիալական, արդյունաբերական կամ մշակութային ենթակառուցվածք, կազմված տարբեր անհատներից։

1) Հասարակությունը մարդկանց կայուն միավորում է, որոնք ապ-
րում են միննույն տարածքում, ունեն ընդհանուր լեզու, մշակույթ ն
ապրելակերպ:

2) գիտակցությամբ ն կամքով օժտված անհատների համակցու-
թյուն է,

« մարդկանց կայուն ն կազմավորված ընդհանրություն է,

«մարդկանց միավորում է իրենց պահանջմունքները բավարա-
բելու համար,

սոցիալակարմերի ն սոցիալական իշխանության համա-
կարգ է:

3)

Ժամանակակից պետությունը զարգացման մեջ առանձ- նացնում է երկու գլխավոր ժամանակաշրջաններ, հետևաբար, գո- յության և վերարտադրման երկու եղանակներ.
• յուրացնող տնտեսություն /որսորդություն, ձկնորսություն, հա- վաքչություն և այլն/,
• արտադրող տնտեսություն /հողագործություն, անասնապա- հություն, մետաղամշակում, խեցեգործություն և այլն: